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mathe:sek1:kl6:rechengesetze [2018/12/28 01:27] schultz |
mathe:sek1:kl6:rechengesetze [2018/12/28 23:48] (aktuell) schultz |
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| + | {{tag>Rechengesetz Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz}} | ||
| ====== Rechengesetze ====== | ====== Rechengesetze ====== | ||
| + | Rechengesetze helfen dir beim vorteilhaften Rechnen mit gebrochenen Zahlen. | ||
| + | |||
| ===== Kommutativgesetz der Addition/Multiplikation ===== | ===== Kommutativgesetz der Addition/Multiplikation ===== | ||
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| $$ \textbf{a} \cdot \textbf{b = b} \cdot \textbf{a} $$ | $$ \textbf{a} \cdot \textbf{b = b} \cdot \textbf{a} $$ | ||
| </callout> | </callout> | ||
| + | |||
| ==== Beispiele ==== | ==== Beispiele ==== | ||
| - | $$ | + | <html> |
| - | \begin{align*} | + | $$ \begin{align*} |
| - | \frac{3}{20} + \frac{8}{55} + \frac{9}{20} &= \frac{3}{20} + \frac{9}{20} + \frac{8}{55}\\ | + | \frac{3}{20} + \frac{8}{55} + \frac{9}{20} &= \frac{3}{20} + \frac{9}{20} + \frac{8}{55}\\ |
| - | &= \frac{12}{20} + \frac{8}{55}\\ | + | &= \frac{12}{20} + \frac{8}{55}\\ |
| - | &= \frac{3}{5} + \frac{8}{55}\\ | + | &= \frac{3}{5} + \frac{8}{55}\\ |
| - | &= \frac{33}{55} + \frac{8}{55}\\ | + | &= \frac{33}{55} + \frac{8}{55}\\ |
| - | &= \frac{41}{55}\\ \\ | + | &= \frac{41}{55}\\ |
| - | \frac{3}{37} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{37}{9} &= \frac{3}{37} \cdot \frac{37}{9} \cdot \frac{5}{2}\\ | + | &\\ |
| - | &= \frac{3 \cdot 37}{37 \cdot 9} \cdot \frac{5}{2}\\ | + | \frac{3}{37} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{37}{9} &= \frac{3}{37} \cdot \frac{37}{9} \cdot \frac{5}{2}\\ |
| - | &= \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}\\ | + | &= \frac{3 \cdot 37}{37 \cdot 9} \cdot \frac{5}{2}\\ |
| - | &= \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2}\\ | + | &= \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}\\ |
| - | &= \frac{5}{6}\\ | + | &= \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2}\\ |
| - | \end{align*} | + | &= \frac{5}{6}\\ |
| - | $$ | + | \end{align*} $$ |
| + | </html> | ||
| ===== Assoziativgesetz der Addition/Multiplikation ===== | ===== Assoziativgesetz der Addition/Multiplikation ===== | ||
| - | <html> </html> | ||
| - | <callout type="danger" title="Assoziativgesetz" color="red" icon="glyphicon glyphicon-education">In einer Summe (einem Produkt) aus drei oder mehr Summanden (Faktoren) darf man beliebig Klammern setzen. Der Wert der Summe (des Produkts) ist von der Stellung der Klammern unabhängig. Man darf die Klammern auch weglassen. | ||
| + | <callout type="danger" title="Assoziativgesetz" color="red" icon="glyphicon glyphicon-education">In einer Summe (einem Produkt) aus drei oder mehr Summanden (Faktoren) darf man beliebig Klammern setzen. Der Wert der Summe (des Produkts) ist von der Stellung der Klammern unabhängig. Man darf die Klammern auch weglassen.\\ | ||
| $ \textbf{a} $, $ \textbf{b} $ und $ \textbf{c} $ stehen für beliebige gebrochene Zahlen: | $ \textbf{a} $, $ \textbf{b} $ und $ \textbf{c} $ stehen für beliebige gebrochene Zahlen: | ||
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| $$ \textbf{(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c} $$ | $$ \textbf{(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c} $$ | ||
| - | |||
| $$ \textbf{(a} \cdot \textbf{b)} \cdot \textbf{c = } \textbf{a} \cdot \textbf{(b} \cdot \textbf{c) = } \textbf{a} \cdot \textbf{b} \cdot \textbf{c} $$ | $$ \textbf{(a} \cdot \textbf{b)} \cdot \textbf{c = } \textbf{a} \cdot \textbf{(b} \cdot \textbf{c) = } \textbf{a} \cdot \textbf{b} \cdot \textbf{c} $$ | ||
| </callout> | </callout> | ||
| ==== Beispiele ==== | ==== Beispiele ==== | ||
| - | ... | + | <html> |
| + | \begin{align*} | ||
| + | (1,3 + 0,14) + 0,56 | ||
| + | &= 1,3 + (0,14 + 0,56)\\ | ||
| + | &= 1,3 + 0,7\\ | ||
| + | &= 2\\ | ||
| + | &= 1,3 + 0,14 + 0,56\\ &\\ | ||
| + | \left(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{4}{7} | ||
| + | &= \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7}\right)\\ | ||
| + | &= \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 7}\right)\\ | ||
| + | &= \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{14}\\ | ||
| + | &= \frac{3}{70}\\ | ||
| + | &= \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | </html> | ||
| ===== Distributivgesetz für die Multiplikation mit einer Summe/Differenz ===== | ===== Distributivgesetz für die Multiplikation mit einer Summe/Differenz ===== | ||
| + | <callout type="danger" title="Distributivgesetz" color="red" icon="glyphicon glyphicon-education"> | ||
| + | Wenn man eine Summe oder Differenz mit einem Faktor multiplizieren soll, dann kann man jede Zahl der Summe bzw. Differenz mit diesem Faktor multiplizieren.\\ | ||
| + | Anschließend addiert bzw. subtrahiert man die Ergebnisse.\\ | ||
| + | $\textbf{a}$, $\textbf{b}$ und $\textbf{c}$ stehen für beliebige gebrochene Zahlen: | ||
| + | \[\textbf{a} \cdot \textbf{(b + c) = a} \cdot \textbf{b + a} \cdot \textbf{c}\] | ||
| + | \[\textbf{a} \cdot \textbf{(b - c) = a} \cdot \textbf{b - a} \cdot \textbf{c}\] | ||
| + | </callout> | ||
| + | ==== Beispiele ==== | ||
| + | <html> | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{5} + \frac{5}{8}\right) | ||
| + | &= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8}\\ | ||
| + | &= \frac{2}{5} + \frac{1}{12}\\ | ||
| + | &= \frac{24 + 5}{60}\\ | ||
| + | &= \frac{29}{60}\\ \\ | ||
| + | 1,2 \cdot \left(1,2 - 0,5\right) | ||
| + | &= 1,2 \cdot 1,2 - 1,2 \cdot 0,5\\ | ||
| + | &= 1,44 - 0,6\\ | ||
| + | &= 0,84 | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | </html> | ||