Rechengesetze
Rechengesetze helfen dir beim vorteilhaften Rechnen mit gebrochenen Zahlen.
Kommutativgesetz der Addition/Multiplikation
Kommutativgesetz
In einer Summe (einem Produkt) darf man die Reihenfolge der Summanden (Faktoren) vertauschen.$\textbf{a}$ und $\textbf{b}$ stehen für beliebige gebrochene Zahlen: $$ \textbf{a + b = b + a} $$ $$ \textbf{a} \cdot \textbf{b = b} \cdot \textbf{a} $$
Beispiele
$$ \begin{align*} \frac{3}{20} + \frac{8}{55} + \frac{9}{20} &= \frac{3}{20} + \frac{9}{20} + \frac{8}{55}\\ &= \frac{12}{20} + \frac{8}{55}\\ &= \frac{3}{5} + \frac{8}{55}\\ &= \frac{33}{55} + \frac{8}{55}\\ &= \frac{41}{55}\\ &\\ \frac{3}{37} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{37}{9} &= \frac{3}{37} \cdot \frac{37}{9} \cdot \frac{5}{2}\\ &= \frac{3 \cdot 37}{37 \cdot 9} \cdot \frac{5}{2}\\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}\\ &= \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2}\\ &= \frac{5}{6}\\ \end{align*} $$
Assoziativgesetz der Addition/Multiplikation
Assoziativgesetz
In einer Summe (einem Produkt) aus drei oder mehr Summanden (Faktoren) darf man beliebig Klammern setzen. Der Wert der Summe (des Produkts) ist von der Stellung der Klammern unabhängig. Man darf die Klammern auch weglassen.$ \textbf{a} $, $ \textbf{b} $ und $ \textbf{c} $ stehen für beliebige gebrochene Zahlen: $$ \textbf{(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c} $$ $$ \textbf{(a} \cdot \textbf{b)} \cdot \textbf{c = } \textbf{a} \cdot \textbf{(b} \cdot \textbf{c) = } \textbf{a} \cdot \textbf{b} \cdot \textbf{c} $$
Beispiele
\begin{align*} (1,3 + 0,14) + 0,56 &= 1,3 + (0,14 + 0,56)\\ &= 1,3 + 0,7\\ &= 2\\ &= 1,3 + 0,14 + 0,56\\ &\\ \left(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{4}{7} &= \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7}\right)\\ &= \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 7}\right)\\ &= \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{14}\\ &= \frac{3}{70}\\ &= \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7} \end{align*}
Distributivgesetz für die Multiplikation mit einer Summe/Differenz
Distributivgesetz
Wenn man eine Summe oder Differenz mit einem Faktor multiplizieren soll, dann kann man jede Zahl der Summe bzw. Differenz mit diesem Faktor multiplizieren.Anschließend addiert bzw. subtrahiert man die Ergebnisse.
$\textbf{a}$, $\textbf{b}$ und $\textbf{c}$ stehen für beliebige gebrochene Zahlen: \[\textbf{a} \cdot \textbf{(b + c) = a} \cdot \textbf{b + a} \cdot \textbf{c}\] \[\textbf{a} \cdot \textbf{(b - c) = a} \cdot \textbf{b - a} \cdot \textbf{c}\]
Beispiele
\begin{align*} \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{5} + \frac{5}{8}\right) &= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8}\\ &= \frac{2}{5} + \frac{1}{12}\\ &= \frac{24 + 5}{60}\\ &= \frac{29}{60}\\ \\ 1,2 \cdot \left(1,2 - 0,5\right) &= 1,2 \cdot 1,2 - 1,2 \cdot 0,5\\ &= 1,44 - 0,6\\ &= 0,84 \end{align*}